# Moduł ilościowy Testu SGH – zakres, wzory i pułapki

Źródło: https://prepfor.pl/test-sgh/modul-ilosciowy · Prep4 · zaktualizowano 13 października 2026 · stan wiedzy na 13 października 2026

**Moduł ilościowy to 18 z 30 pytań Testu SGH.** SGH wyróżnia w nim siedem obszarów: podstawy logiki formalnej, rozumienie tekstu, pomiar danych, miary podobieństwa i odległości, typy danych i wizualizację, prognozy i błędy prognoz oraz dane tabelaryczne z analizą asocjacyjną. To nie jest test wiedzy ekonomicznej, tylko **trening myślenia analitycznego** – a cztery z siedmiu obszarów wykraczają poza program liceum.

## W skrócie

- **18 z 30 pytań (60%)** to moduł ilościowy – tu jest większość pytań testu. SGH nie ujawniło podziału 100 punktów między moduły.
- **Obszary 1–3** (logika, tekst, pomiar danych) opierają się na umiejętnościach szkolnych: zaprzeczanie zdań, procenty, czytanie opisów.
- **Obszary 4–7** (miary odległości, wizualizacje, MAE/RMSE/MAPE, tabele i reguły asocjacyjne) są **nowe dla większości licealistów** – tu zyskuje przygotowany kandydat.
- W 16 oficjalnych pytaniach **każdy z siedmiu obszarów miał dokładnie jedno pytanie**. Przy 18 pytaniach w teście oznacza to ok. 2–3 pytania na obszar.
- Typowe pułapki: „lub” w logice nie wyklucza, **% to nie p.p.**, błąd względny a bezwzględny, tabele czytane w złą stronę, wnioski „za mocne” względem tekstu.

## Najważniejsze fakty

| Pozycja | Wartość |
| --- | --- |
| Liczba pytań | 18 (z 30) |
| Obszary | 7 (logika, tekst, pomiar, odległości, wizualizacja, prognozy, tabele/asocjacje) |
| Charakter | praktyczne kompetencje analityczne, nie wiedza ekonomiczna |
| Poza programem liceum (nasza ocena) | miary odległości, wykres skrzypcowy i konturowy, MAPE/RMSE, analiza item-to-item |
| Styl pytań | krótkie, rozwiązywalne w 1–3 minuty, często „które zdanie jest fałszywe/błędne/na pewno prawdziwe” |

## Przegląd: siedem obszarów modułu ilościowego

SGH opisuje moduł ilościowy jako „praktyczne, życiowe kompetencje” z zakresu wprowadzenia do analizy danych, logiki formalnej, pomiaru, wizualizacji i podstaw metod ilościowych. Poniżej zestawiliśmy wszystkie siedem obszarów z najczęstszą pułapką w każdym z nich.

**Siedem obszarów modułu ilościowego Testu SGH**

| Obszar | Czego dotyczy | Poziom względem liceum | Typowa pułapka |
| --- | --- | --- | --- |
| 1. Logika formalna | spójniki, implikacja, równoważność, kwantyfikatory, zaprzeczanie zdań | częściowo znany | „lub” w logice nie wyklucza obu przypadków |
| 2. Rozumienie tekstu | rozkłady jazdy, opisy czynności, informacje jawne i domyślne | znany | dane „szum” (np. godziny, które nie dotyczą Twojego dnia) |
| 3. Pomiar danych | procenty i p.p., r/r, realne vs nominalne, przedziały, braki danych | częściowo znany | mylenie zmiany o 1 p.p. ze zmianą o 1% |
| 4. Miary odległości | kosinusowa, Jaccarda, Pearsona, euklidesowa, Manhattan, Hamminga | **nowy** | dobieranie miary do typu danych (Pearson dla napisów nie ma sensu) |
| 5. Wizualizacja | histogramy 1D/2D, wykresy skrzypcowe, konturowe, radarowe, pudełkowe | częściowo nowy | zmiana liczby przedziałów i skali osi zmienia wrażenie |
| 6. Prognozy i błędy | punktowa/przedziałowa, ex-ante/ex-post, ME, MAE, MAPE, RMSE | **nowy** | RMSE ≥ MAE; ME może być zerowy mimo dużych błędów |
| 7. Tabele i asocjacje | tabele nominalne i procentowe, item-to-item, reguły asocjacyjne | częściowo nowy | odsetek wśród wierszy a wśród kolumn |

## 1. Podstawy logiki formalnej

Oficjalny opis obejmuje zapis zdań matematycznych, operatory logiczne (koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność), kwantyfikatory oraz zasady zaprzeczania zdań. W pytaniach pojawiają się zdania z życia („Karol uprawia piłkę lub koszykówkę”), które trzeba ocenić albo zaprzeczyć.

**Najważniejsze równoważności i zaprzeczenia**

| Zdanie | Zaprzeczenie / równoważna postać | Uwaga |
| --- | --- | --- |
| p ∧ q (i) | ¬p ∨ ¬q | prawo De Morgana |
| p ∨ q (lub) | ¬p ∧ ¬q | alternatywa jest fałszywa **tylko**, gdy oba zdania są fałszywe |
| p ⇒ q (jeśli p, to q) | p ∧ ¬q | implikacja jest fałszywa tylko dla p prawdziwego i q fałszywego |
| p ⇒ q | ¬q ⇒ ¬p (kontrapozycja) | równoważna, w przeciwieństwie do odwrotnej q ⇒ p |
| p ⇔ q (wtedy i tylko wtedy) | (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) | ta sama wartość logiczna obu zdań |
| Każdy x ma cechę P | Istnieje x, który nie ma cechy P | ¬∀ ≡ ∃¬ |
| Istnieje x z cechą P | Każdy x nie ma cechy P (żaden nie ma) | ¬∃ ≡ ∀¬ |

> **Pułapka: kolejność kwantyfikatorów:** „Dla każdego klienta istnieje produkt, który kupił” to nie to samo, co „istnieje produkt, który kupił każdy klient”. Zamiana kwantyfikatorów zmienia sens zdania.

## 2. Rozumienie tekstu i analiza opisów

Pytania opierają się na krótkich tekstach praktycznych: rozkładzie jazdy, regulaminie, opisie procedury. Test sprawdza, czy odróżniasz **informację jawną** (napisaną wprost) od **domyślnej** (wynikającej z tekstu) i czy potrafisz odpowiedzieć **bez nadinterpretacji**.

1. Ustal, **jaki dzień, godzinę i warunek** dotyczą pytania; resztę potraktuj jako szum.
2. Zaznacz **wyjątki** (szczyt, weekend, ostatni kurs) i sprawdź, czy dotyczą Twojego przypadku.
3. Odpowiadaj tylko na podstawie tekstu: jeśli czegoś nie ma w opisie, nie możesz tego założyć.
4. W pytaniach „na pewno wynika” odrzucaj odpowiedzi, które są **prawdopodobne**, ale nie pewne.

## 3. Pomiar danych: procenty, realne vs nominalne, braki danych

### Procent a punkt procentowy

Gdy stopa bezrobocia rośnie z 5% do 6%, zmiana wynosi **+1 punkt procentowy** (6 − 5), ale względnie **+20%** ((6 − 5) / 5). Błędna baza (6 zamiast 5) daje 16,7% – to częsty dystraktor. Ta sama zasada dotyczy stóp procentowych, udziałów w rynku i inflacji.

### Dynamika: r/r, m/m, indeksy

Zmiana **rok do roku (r/r)** porównuje ten sam okres z dwóch lat, **m/m** – sąsiednie miesiące. Indeks o podstawie stałej (np. 2020 = 100) pozwala porównywać szeregi, ale **efekt bazy** sprawia, że wzrost z niskiego poziomu wygląda imponująco.

### Wartości realne i nominalne

Realna zmiana wielkości nominalnej:

$$\text{zmiana realna} = \frac{1+n}{1+\pi}-1 \;\approx\; n-\pi$$

Symbol *n* oznacza nominalną zmianę (np. płac), a *π* – inflację. Jeśli ceny podwoiły się (+100%), a płace wzrosły o 50%, to realnie płace spadły o 25% (1,5 / 2 = 0,75).

### Wartości przedziałowe i niepewność pomiaru

- Suma przedziałów: [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].
- Różnica przedziałów: [a, b] − [c, d] = [a − d, b − c] (odejmujesz „najgorszy z najlepszym”).
- Szersze przedziały oznaczają większą niepewność, ale bezpieczniejsze wnioski.

### Typy danych i braki danych

Dane mogą być **nominalne** (kategorie), **porządkowe** (kolejność), **przedziałowe** i **ilorazowe**; nie każde działanie ma sens (średnia z kodów pocztowych jest bez znaczenia). Brakujące wartości można uzupełnić **imputacją** średnią lub medianą. Mediana jest odporna na wartości odstające, a imputacja średnią **zaniża zmienność** (wariancję) i może zniekształcić korelacje.

## 4. Miary podobieństwa i odległości

SGH wymienia wektory, tablice, obrazy, ciągi znaków i tokenów, pojęcie wielowymiarowości, własności miar (symetria, nierówność trójkąta) oraz sześć konkretnych miar. Obiekty (klienci, teksty, obrazy) zapisuje się jako wektory cech, a ich „bliskość” liczy odpowiednim wzorem.

**Miary podobieństwa i odległości z zakresu SGH**

| Miara | Dla jakich danych | Kluczowy fakt |
| --- | --- | --- |
| Euklidesowa | wektory liczb | „odległość w linii prostej”, √Σ(xᵢ−yᵢ)² |
| Manhattan | wektory liczb | suma wartości bezwzględnych różnic; zawsze ≥ euklidesowej |
| Hamminga | ciągi równej długości | liczba pozycji, na których ciągi się różnią (kot/kod = 1) |
| Jaccarda | zbiory (koszyki zakupowe, tagi) | iloraz części wspólnej i sumy zbiorów, wartości od 0 do 1 |
| Kosinusowa | wektory (np. teksty jako worek słów) | mierzy kąt, **ignoruje długość** wektora; wartości od −1 do 1 |
| Korelacja Pearsona | pary zmiennych liczbowych | mierzy zależność **liniową**; r = 0 nie oznacza braku zależności |

Odległość euklidesowa:

$$d_E(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$$

Odległość Manhattan:

$$d_M(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|$$

Podobieństwo Jaccarda i odległość Jaccarda:

$$J(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|},\qquad d_J(A,B)=1-J(A,B)$$

Podobieństwo kosinusowe:

$$\cos\theta=\frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|}$$

**Własności metryki:** nieujemność, d(x, x) = 0, symetria d(x, y) = d(y, x) oraz **nierówność trójkąta** d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Miara 1 − cos θ jest często używana jako „odległość kosinusowa”, ale nierówności trójkąta nie spełnia. Korelacja Pearsona to kosinus między wektorami po odjęciu średniej. Przed liczeniem odległości cechy o różnych skalach zwykle się normalizuje, bo inaczej dominuje cecha o największych wartościach.

## 5. Typy danych i wizualizacja

**Wykresy z zakresu SGH i na co uważać**

| Wykres | Co pokazuje | Pułapka interpretacyjna |
| --- | --- | --- |
| Histogram 1D | rozkład jednej zmiennej w przedziałach | kształt zależy od **liczby przedziałów**; histogram ≠ wykres słupkowy |
| Histogram 2D / konturowy | łączny rozkład dwóch zmiennych, zagęszczenia, maksima | ciemne pola to dużo obserwacji, nie duże wartości |
| Wykres pudełkowy | mediana, kwartyle Q1/Q3, rozstęp ćwiartkowy, wartości odstające | nie pokazuje wielomodalności rozkładu |
| Wykres skrzypcowy | pudełko + wygładzona gęstość rozkładu | szerokość „skrzypiec” = gęstość; pokazuje kilka garbów |
| Wykres radarowy | profil wielu cech dla jednego obiektu | wynik zależy od kolejności i skali osi |
| Szereg czasowy | zmiany wartości w czasie | liczy się zmiana **koniec − początek**, nie zmienność po drodze |

Dużą rolę grają **skale osi**: ucięta oś Y wyolbrzymia różnice, skala logarytmiczna zamienia stałe tempo wzrostu w linię prostą, a dwa panele z różnymi skalami utrudniają porównanie. W pytaniach pytają zwykle o to, który szereg „zmienił się bardziej” albo co wynika z kształtu wykresu.

## 6. Prognozy i błędy prognoz

**Prognoza punktowa** to jedna liczba, **przedziałowa** – zakres, w którym wartość znajdzie się z określonym prawdopodobieństwem (np. 90%). Szerszy przedział daje większą pewność, ale mniejszą precyzję. Prognoza **ex-ante** powstaje przed poznaniem wartości rzeczywistej, **ex-post** to ocena prognozy po jej poznaniu (błąd faktyczny).

Niech *yₜ* oznacza wartość rzeczywistą, a *ŷₜ* prognozę. Klasyczne miary jakości prognoz:

ME (średni błąd):

$$ME=\frac1n\sum_{t=1}^{n}(y_t-\hat y_t)$$

MAE (średni błąd bezwzględny):

$$MAE=\frac1n\sum_{t=1}^{n}|y_t-\hat y_t|$$

RMSE (pierwiastek ze średniego błędu kwadratowego):

$$RMSE=\sqrt{\frac1n\sum_{t=1}^{n}(y_t-\hat y_t)^2}$$

MAPE (średni bezwzględny błąd procentowy):

$$MAPE=\frac{100\%}{n}\sum_{t=1}^{n}\left|\frac{y_t-\hat y_t}{y_t}\right|$$

- **ME** pokazuje obciążenie (systematyczne zawyżanie lub zaniżanie), ale błędy dodatnie i ujemne się znoszą. Błędy +2, −2, +2, −2 dają ME = 0.
- **RMSE ≥ MAE**, a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie błędy mają taki sam moduł. RMSE mocniej karze duże błędy.
- **MAPE** nie zależy od skali danych, ale rozpada się, gdy wartość rzeczywista jest bliska zera.
- Źródła błędów prognoz: szoki losowe, zła specyfikacja modelu, niestabilność relacji, błędy danych, zbyt długi horyzont.

## 7. Dane tabelaryczne i analiza asocjacyjna

Najczęstsze zadanie to ocena zdań o tabeli, np. „które zdanie jest błędne”. Kluczowe jest rozróżnienie **odsetka w wierszu**, **w kolumnie** i **od ogółu**: „wśród psów 61% adoptowano” to inne zdanie niż „wśród adoptowanych 41% to psy”. Kto porównuje liczby bezwzględne zamiast odsetków, wpada w pułapkę.

**Analiza asocjacyjna** wyszukuje przedmioty, które często występują razem (np. w koszykach zakupowych). Podejście **item-to-item** poleca produkty podobne do tych, które kupił klient, na podstawie wspólnych klientów (np. miarą Jaccarda lub kosinusową).

Wsparcie, ufność i lift reguły A ⇒ B:

$$\mathrm{support}=P(A\cap B),\quad \mathrm{confidence}=P(B\mid A),\quad \mathrm{lift}=\frac{P(B\mid A)}{P(B)}$$

Lift większy od 1 oznacza, że A i B występują razem częściej, niż wynikałoby z przypadku. Warto znać też **paradoks Simpsona**: zależność widoczna w każdej podgrupie może odwrócić się po zsumowaniu danych.

## Jak uczyć się modułu ilościowego?

1. Zacznij od **oficjalnych 7 pytań ilościowych** z PDF SGH i dla każdego zapisz, który obszar sprawdza i jaka była pułapka.
2. Obszary 1–3 opanuj w pierwszej kolejności – to najtańsze punkty, bo znasz materiał ze szkoły.
3. Obszary 4–7 ucz się **wzorami i małymi liczbami**: licz Hamminga, Jaccarda, ME/MAE/RMSE na trzech–pięciu liczbach, w pamięci.
4. Do każdego wykresu zadaj sobie pytanie: „jak ta forma może mnie oszukać?”.
5. Trenuj tempo: zadania tego typu mają mieścić się w 1–3 minutach.

Pojęcia z tej strony znajdziesz w [słowniku pojęć Testu SGH](https://prepfor.pl/test-sgh/slownik-pojec), a przykładowe zadania z rozwiązaniami w artykule [Przykładowe pytania Testu SGH](https://prepfor.pl/test-sgh/przykladowe-pytania).

## Najczęściej zadawane pytania

### Co obejmuje moduł ilościowy Testu SGH?

Siedem obszarów: podstawy logiki formalnej, rozumienie tekstu i analizę opisów, pomiar danych (procenty, wartości realne i nominalne, przedziały, braki danych), miary podobieństwa i odległości, typy danych i wizualizację, prognozy i błędy prognoz oraz dane tabelaryczne z analizą asocjacyjną.

### Ile pytań ma moduł ilościowy w Teście SGH?

18 z 30 pytań, czyli 60%. Moduł jakościowy ma 12 pytań. SGH nie podało, jaka część ze 100 punktów przypada na każdy moduł.

### Czy w Teście SGH trzeba znać wzory?

Warto znać definicje i proste wzory: odległość euklidesową, Manhattan, Hamminga, podobieństwo Jaccarda i kosinusowe, ME, MAE, MAPE, RMSE oraz wsparcie, ufność i lift. Przykładowe pytania da się rozwiązać w pamięci na małych liczbach, więc bardziej liczy się rozumienie niż skomplikowane obliczenia.

### Czym różni się punkt procentowy od procenta?

Punkt procentowy (p.p.) to różnica między dwiema wartościami wyrażonymi w procentach, a procent opisuje zmianę względną. Gdy bezrobocie rośnie z 5% do 6%, wzrost wynosi 1 p.p., co względnie daje +20%.

### Czy na Teście SGH będzie wykres skrzypcowy?

Wykresy skrzypcowe, histogramy jedno- i dwuwymiarowe, konturowe, radarowe i pudełkowe są wprost wymienione w oficjalnym zakresie SGH, więc trzeba umieć je odczytać. W przykładowych pytaniach pojawił się natomiast szereg czasowy z dwoma panelami o różnych skalach.

### Czy moduł ilościowy jest trudny?

Pytania próbne są krótkie i rozwiązywalne w 1–3 minuty, ale sprawdzają nawyk uważnego czytania i znajomość pojęć spoza szkoły (miary odległości, błędy prognoz, reguły asocjacyjne). Trudność wynika głównie z nowości materiału i pułapek w dystraktorach, nie z zaawansowanej matematyki.

## Źródła

- [SGH – Test SGH (oficjalna strona testu)](https://www.sgh.waw.pl/test-sgh)
- [SGH – Przykładowe pytania na Test SGH (PDF, wrzesień 2026)](https://www.sgh.waw.pl/sites/sgh.waw.pl/files/2026-09/przyk%C5%82adowe%20pytania_test%20SGH_MI_MJ.pdf)
- [Uchwała nr 223 Senatu SGH z 25.06.2026 w sprawie warunków, trybu i terminu rekrutacji 2027/2028 (BAP SGH)](https://bap.sgh.waw.pl/423-lista/d/40073/5/)